Ngelumath Matriks

Pengenalan Matriks

Pengertian Matriks

Apa itu Matriks?

Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang diatur dalam baris (horizontal) dan kolom (vertikal) yang ditulis di antara tanda kurung siku [ ] atau kurung biasa ( ). Setiap bilangan dalam matriks disebut elemen atau entri.

Matriks biasanya diberi nama dengan huruf kapital seperti A, B, C, …
sedangkan elemennya menggunakan huruf kecil dengan dua indeks: a_ij

i = nomor baris | j = nomor kolom

A =

a₁₁a₁₂a₁₃ a₂₁a₂₂a₂₃

Contoh: a₁₂ artinya elemen di baris 1, kolom 2.

Ordo Matriks

Pengertian Ordo

Ordo (ukuran) matriks dituliskan sebagai m × n, artinya matriks tersebut mempunyai m baris dan n kolom. Jumlah total elemennya adalah m × n.

Cara membaca: “m kali n” atau “m cross n”
Contoh: matriks berordo 3×2 → memiliki 3 baris dan 2 kolom → total 6 elemen.

Ordo	Baris	Kolom	Jml Elemen	Contoh
1×1	1	1	1	5
1×3	1	3	3	246
2×2	2	2	4	1234
2×3	2	3	6	123456
3×3	3	3	9	123456789

Elemen Matriks

Cara Membaca Elemen

Setiap elemen a_ij memiliki posisi yang unik. Angka pertama (i) adalah nomor baris, angka kedua (j) adalah nomor kolom.

A =

251 374 689

a₁₁ = 2 → baris 1, kolom 1
a₂₂ = 7 → baris 2, kolom 2
a₁₃ = 1 → baris 1, kolom 3
a₃₁ = 6 → baris 3, kolom 1
a₂₃ = 4 → baris 2, kolom 3

Perhatikan: a₁₂ ≠ a₂₁ karena posisi baris dan kolom berbeda. (a₁₂ = 5, sedangkan a₂₁ = 3)

Jenis-Jenis Matriks

→

Matriks Baris

Ordo 1×n

Matriks yang hanya memiliki 1 baris dengan n kolom.

31−25

ordo 1×4

↓

Matriks Kolom

Ordo m×1

Matriks yang hanya memiliki 1 kolom dengan m baris.

4−17

ordo 3×1

■

Matriks Persegi

Ordo n×n

Matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama. Banyak digunakan dalam operasi matriks lanjut.

123456789

ordo 3×3

Matriks Nol

Semua elemen = 0

Matriks yang seluruh elemennya bernilai nol. Dilambangkan dengan O. Berfungsi seperti angka 0 pada bilangan biasa (elemen netral penjumlahan).

000000

ordo 2×3

Matriks Identitas

Diagonal = 1, lainnya = 0

Matriks persegi dengan elemen diagonal utama = 1 dan semua elemen lainnya = 0. Dilambangkan dengan I atau I_n. Berfungsi seperti angka 1 pada perkalian.

I₃ =

100 010 001

ordo 3×3

╲

Matriks Diagonal

Non-diagonal = 0

Matriks persegi dengan elemen di luar diagonal utama semuanya nol. Elemen diagonal utama boleh bernilai apa saja (termasuk nol).

400 0−20 007

△

Matriks Segitiga Atas

Bawah diagonal = 0

Matriks persegi dengan semua elemen di bawah diagonal utama = 0.

352 014 006

▽

Matriks Segitiga Bawah

Atas diagonal = 0

Matriks persegi dengan semua elemen di atas diagonal utama = 0.

200 530 147

Matriks Transpose

Baris ↔ Kolom

Transpose matriks A ditulis A^T (atau A’). Diperoleh dengan memindahkan baris menjadi kolom (atau sebaliknya). Jika A berordo m×n, maka A^T berordo n×m.

123456

(2×3)

A^T =

142536

(3×2)

⇌

Matriks Simetris

A = A^T

Matriks persegi di mana A = A^T, artinya a_ij = a_ji untuk semua i dan j. Elemen yang simetris terhadap diagonal utama nilainya sama.

123 254 346

Perhatikan: a₁₂=a₂₁=2 · a₁₃=a₃₁=3 · a₂₃=a₃₂=4 ✓

Ringkasan Jenis Matriks

Matriks Baris : ordo 1×n (hanya 1 baris)
Matriks Kolom : ordo m×1 (hanya 1 kolom)
Matriks Persegi : ordo n×n (baris = kolom)
Matriks Nol : semua elemen = 0
Matriks Identitas : diagonal = 1, lainnya = 0
Matriks Diagonal : di luar diagonal = 0
Segitiga Atas : di bawah diagonal = 0
Segitiga Bawah : di atas diagonal = 0
Transpose : baris dan kolom ditukar
Simetris : A = A^T

Kesamaan Dua Matriks

Kapan Dua Matriks Dikatakan Sama?

Dua matriks A dan B dikatakan sama (A = B) jika dan hanya jika:

Ordo kedua matriks sama (jumlah baris dan kolom identik)
Setiap elemen yang bersesuaian sama: a_ij = b_ij untuk semua i dan j

Contoh: Jika A = B, tentukan nilai x dan y.

x+132y−4

5321

Dari kesamaan elemen: x + 1 = 5 → x = 4 dan y − 4 = 1 → y = 5

Contoh Soal

● Mudah 1

Menentukan Ordo dan Elemen

Diketahui matriks:

4−17250

Tentukan: (a) ordo matriks P, (b) nilai p₁₂, (c) nilai p₂₃.

Penyelesaian

P memiliki 2 baris dan 3 kolom, jadi ordonya 2×3.

p₁₂ = elemen baris 1, kolom 2 = −1

p₂₃ = elemen baris 2, kolom 3 = 0

● Mudah 2

Menentukan Jenis Matriks

Tentukan jenis matriks berikut ini:

3−15

100010001

Penyelesaian

Berordo 3×1 (3 baris, 1 kolom) → Matriks Kolom

Berordo 3×3, diagonal utama semua 1, sisanya 0 → Matriks Identitas (I₃)

● Sedang 1

Transpose Matriks

Diketahui:

31−2405

Tentukan Q^T dan sebutkan ordonya.

Penyelesaian

Q berordo 3×2. Transpose menukar baris jadi kolom → Q^T berordo 2×3.

Baris pertama Q (3, 1) menjadi kolom pertama Q^T, dan seterusnya.

Q^T =

3−20145

ordo 2×3

● Sedang 2

Kesamaan Matriks

Jika kedua matriks berikut sama, tentukan nilai a, b, c, dan d.

2ab+3c−14d

87212

Penyelesaian

2a = 8 → a = 4

b + 3 = 7 → b = 4

c − 1 = 2 → c = 3

4d = 12 → d = 3

● Sulit 1

Elemen & Kesamaan Matriks Kompleks

Diketahui matriks A dan B sama. Tentukan nilai x, y, dan z.

x+y3z2x−y4

53−2214

Penyelesaian

Dari elemen (1,3): z = −2

Dari elemen (1,1) dan (2,2) diperoleh sistem persamaan:
x + y = 5 …(i)
x − y = 1 …(ii)

Tambahkan (i) + (ii): 2x = 6 → x = 3

Substitusi ke (i): 3 + y = 5 → y = 2

● Sulit 2

Matriks Simetris

Tentukan nilai a, b, c agar matriks berikut menjadi matriks simetris.

4a−12b35c+2647

Penyelesaian

Syarat simetris: a_ij = a_ji

m₁₂ = m₂₁ → a − 1 = 3 → a = 4

m₁₃ = m₃₁ → 2b = 6 → b = 3

m₂₃ = m₃₂ → c + 2 = 4 → c = 2

Soal Latihan

Kerjakan di Buku Tulis

Tulis jawaban lengkap beserta langkah penyelesaiannya.

Level Mudah

Soal 1

Diketahui:

53−20741−36

Tentukan: (a) ordo matriks A, (b) a₁₃, (c) a₃₂, (d) a₂₂

Soal 2

Sebutkan jenis dari masing-masing matriks berikut:

2−135

000000

1001

Soal 3

Buatlah contoh matriks dengan ketentuan berikut:
(a) Matriks berordo 3×2
(b) Matriks diagonal berordo 3×3
(c) Matriks segitiga atas berordo 3×3

Soal 4

Tentukan transpose dari matriks berikut, lalu sebutkan ordo hasilnya:

4−31052

Soal 5

Diantara matriks berikut, pasangan mana yang sama? Berikan alasanmu.

3124

3214

3124

Level Sedang

Soal 6

Jika A = B, tentukan nilai x dan y.

3x−2412y+1

7419

Soal 7

Tentukan nilai a, b, c, d jika:

a+ba−b2c3d−1

711011

Soal 8

Diketahui matriks:

14−2305

(a) Tentukan C^T
(b) Apakah C = C^T? Mengapa?

Soal 9

Buatlah matriks simetris berordo 3×3 dengan elemen diagonal utama: 2, 5, 8. Tentukan minimal dua kemungkinan matriks simetrisnya.

Soal 10

Diketahui matriks K berordo 4×4. Jika jumlah semua elemen pada baris ke-i sama dengan i², berapakah jumlah seluruh elemen matriks K?

Level Sulit

Soal 11

Tentukan nilai p, q, r, s jika:

p+qp−q2r−sr+2s

82112

Soal 12

Tentukan nilai a, b, c agar matriks berikut menjadi matriks simetris:

32a−1b+3543c726

Soal 13

Matriks A berordo 3×3 dengan elemen a_ij = i + 2j. Tuliskan matriks A secara lengkap lalu tentukan A^T. Apakah A simetris?

Soal 14

Buktikan bahwa jika A adalah matriks sembarang berordo m×n, maka (A^T)^T = A. Gunakan contoh matriks 2×3 untuk menjelaskan.

Soal 15

Diketahui matriks A berordo 2×2 dengan a₁₁ = a₂₂ = k dan a₁₂ = a₂₁ = 0 (k ≠ 0). Tunjukkan bahwa A adalah matriks diagonal. Apa nama khusus matriks ini jika k = 1?

Operasi Matriks

Materi

Pengertian Matriks

Matriks adalah susunan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom di dalam tanda kurung siku. Ukuran matriks dinyatakan sebagai m × n (m = jumlah baris, n = jumlah kolom).

Contoh Matriks 2×2 :

A =

12 34

Contoh Matriks 2×3 :

B =

123 456

A. Penjumlahan Matriks

Dua matriks dapat dijumlahkan hanya jika ukurannya sama (ordo sama). Penjumlahan dilakukan dengan menjumlahkan elemen yang posisinya sama.

Syarat : Ordo A = Ordo B
Rumus : (A + B)_ij = a_ij + b_ij

ab cd

ef gh

a+eb+f c+gd+h

B. Pengurangan Matriks

Pengurangan juga hanya bisa dilakukan pada matriks dengan ukuran yang sama. Setiap elemen dikurangi dengan elemen di posisi yang sama.

Syarat : Ordo A = Ordo B
Rumus : (A − B)_ij = a_ij − b_ij

ab cd

−

ef gh

a−eb−f c−gd−h

C. Perkalian Matriks dengan Skalar

Skalar adalah bilangan tunggal (bukan matriks). Saat mengalikan matriks dengan skalar k, setiap elemen dalam matriks dikalikan dengan k.

Tidak ada syarat khusus — berlaku untuk semua ordo matriks.
Rumus : (k · A)_ij = k × a_ij

k ×

ab cd

kakb kckd

D. Sifat-Sifat Penting

Komutatif : A + B = B + A
Asosiatif : (A + B) + C = A + (B + C)
Distributif skalar : k(A + B) = kA + kB
Skalar nol : 0 · A = O (matriks nol)
Skalar satu : 1 · A = A

Contoh Soal

● Mudah 1

Penjumlahan Matriks 2×2

Diketahui:

2134

1321

Tentukan A + B.

Penyelesaian

A + B =

2+11+33+24+1

3455

● Mudah 2

Perkalian Skalar

Diketahui:

3102

Tentukan 3A.

Penyelesaian

3A = 3 ×

3102

9306

● Sedang 1

Pengurangan Matriks 2×3

Diketahui:

52−1043

1−2321−1

Tentukan A − B.

Penyelesaian

Pastikan ordo sama: A dan B sama-sama 2×3. ✓

Kurangi elemen yang posisinya sama.

A−B=

44−4−234

● Sedang 2

Kombinasi Skalar: 2A − 3B

Diketahui:

2468

1234

Tentukan 2A − 3B.

Penyelesaian

Hitung 2A: kalikan semua elemen A dengan 2.

2A =

481216

Hitung 3B: kalikan semua elemen B dengan 3.

3B =

36912

Kurangi 2A dengan 3B.

2A − 3B =

1234

● Sulit 1

Mencari Matriks X

Tentukan X jika:

2X +

1324

7968

Penyelesaian

Pindahkan matriks konstan ke ruas kanan (ubah tanda).

2X =

7−19−36−28−4

6644

Bagi kedua sisi dengan skalar 2.

X =

3322

● Sulit 2

Persamaan Matriks: 3X − 2A = B

Tentukan X jika 3X − 2A = B, dengan:

4268

2−134

Penyelesaian

Pindahkan −2A ke kanan: 3X = B + 2A

Hitung 2A.

2A =

841216

Hitung B + 2A.

B + 2A =

1031520

Bagi dengan 3: X = ⅓(B + 2A)

X =

10/31520/3

Soal Latihan

Kerjakan di Buku Tulis

Tulis langkah penyelesaian lengkap untuk setiap soal.

Level Mudah

Soal 1

Hitung A + B jika:

3512

2143

Soal 2

Hitung A − B jika:

6453

2131

Soal 3

Tentukan 4A jika:

1203

Soal 4

Hitung A + B jika:

−1320

4−215

Soal 5

Tentukan −2B jika:

3−142

Level Sedang

Soal 6

Tentukan 2A + B jika:

3124

10−12

Soal 7

Tentukan 3A − 2B jika:

4213

2102

Soal 8

Tentukan A + B − C jika:

5231

1324

2113

Soal 9

Diketahui A − B = C. Tentukan matriks B jika:

7539

2314

Soal 10

Tentukan 2A − B untuk matriks berordo 2×3:

426135

1−1232−1

Level Sulit

Soal 11

Tentukan X jika:

3X −

4628

2314

Soal 12

Tentukan X jika 2X + 3A = B, dengan:

2134

85914

Soal 13

Jika 2(A + B) = C, dengan:

3125

106814

Tentukan matriks A.

Soal 14

Diketahui 2A − B = 3C, dengan:

5347

1123

Tentukan matriks B.

Soal 15

Tentukan nilai p, q, r, dan s jika:

2 ×

pqrs

1324

97812

Ngelu Math

Pengenalan Matriks

Pengertian Matriks

Ordo Matriks

Elemen Matriks

Jenis-Jenis Matriks

Kesamaan Dua Matriks

Contoh Soal

Soal Latihan

Kerjakan di Buku Tulis

Operasi Matriks

Materi

Contoh Soal

Soal Latihan

Kerjakan di Buku Tulis

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Solusi Ngelu Mikir Mapel Sekolah