Bilangan Berpangkat – Bilangan Berpangkat Pecahan

Bilangan Berpangkat Pecahan

Hubungan Pangkat Pecahan dan Bentuk Akar & Menyederhanakan Pangkat Pecahan

A. Hubungan Pangkat Pecahan dan Bentuk Akar

🔍 Kegiatan 1: Mengamati

Perhatikan pola berikut:

41 = 4 4 1/2 = ? Kita tahu bahwa: \sqrt4 = 2, dan 2 \times 2 = 4 Maka: (4 1/2) 2 = 4 (1/2)\times2 = 4 1 = 4 Jadi: 4 1/2 = \sqrt4 = 2

Amati juga:

8 1/3 = ? (8 1/3) 3 = 8 (1/3)\times3 = 8 1 = 8 Karena 2 \times 2 \times 2 = 8, maka 3 \sqrt 8 = 2 Jadi: 8 1/3 = 3 \sqrt 8 = 2

❓ Kegiatan 2: Menanya

Dari pengamatan di atas, muncul pertanyaan:

Bagaimana hubungan antara pangkat pecahan a^1/n dengan bentuk akar n√a?
Bagaimana jika pangkatnya berupa pecahan m/n?
Apa syarat yang harus dipenuhi?

💡 Kegiatan 3: Menalar

Berdasarkan pengamatan, kita dapat menyimpulkan definisi berikut:

Definisi Pangkat Pecahan

a^1/n = n√a

a^m/n = n√a^m = (n√a)^m

dengan a > 0, m bilangan bulat, n bilangan asli, n ≥ 2

Penjelasan Detail:

a^1/n = n√a
Artinya: bilangan yang jika dipangkatkan n menghasilkan a.
Contoh: 9^1/2 = √9 = 3, karena 3² = 9
a^m/n = n√a^m
Artinya: akar ke-n dari a pangkat m.
Contoh: 8^2/3 = 3√8² = 3√64 = 4
a^m/n = (n√a)^m
Artinya: akar ke-n dari a, kemudian dipangkatkan m.
Contoh: 8^2/3 = (3√8)² = 2² = 4

Sifat-sifat Pangkat Pecahan: No Sifat Contoh 1 a m \times a n = a m+n 2 1/2 \times 2 1/2 = 2 1 = 2 2 a m \div a n = a m-n 3 3/2 \div 3 1/2 = 3 1 = 3 3 (a m) n = a m\timesn (4 1/2) 3 = 4 3/2 = 8 4 (ab) n = a n \times b n (4\times9) 1/2 = 4 1/2 \times 9 1/2 = 2\times3 = 6 5 (a/b) n = a n /b n (4/9) 1/2 = 4 1/2 /9 1/2 = 2/3

No	Sifat	Contoh
1	a^m × aⁿ = a^m+n	2^1/2 × 2^1/2 = 2¹ = 2
2	a^m ÷ aⁿ = a^m−n	3^3/2 ÷ 3^1/2 = 3¹ = 3
3	(a^m)ⁿ = a^m×n	(4^1/2)³ = 4^3/2 = 8
4	(ab)ⁿ = aⁿ × bⁿ	(4×9)^1/2 = 4^1/2 × 9^1/2 = 2×3 = 6
5	(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ	(4/9)^1/2 = 4^1/2/9^1/2 = 2/3

✏️ Kegiatan 4: Mencoba

Cobalah ubah bentuk berikut ke bentuk akar atau sebaliknya:

25 1/2 = \sqrt25 = 5 ✓ 27 1/3 = 3 \sqrt 27 = 3 ✓ 16 3/4 = (4 \sqrt 16) 3 = 2 3 = 8 ✓ \sqrt5 = 5 1/2 ✓ 3 \sqrt 72 = 7 2/3 ✓

📢 Kegiatan 5: Mengkomunikasikan

Kesimpulan:

Pangkat pecahan 1/n sama dengan akar ke-n. Pangkat pecahan m/n berarti “akar ke-n lalu pangkatkan m” atau “pangkatkan m lalu ambil akar ke-n”. Kedua cara menghasilkan nilai yang sama. Sifat-sifat pangkat bulat juga berlaku untuk pangkat pecahan.

📝 Contoh Soal: Hubungan Pangkat Pecahan dan Bentuk Akar

● Soal Mudah (1–10)

Mudah

1. Ubahlah 16^1/2 ke bentuk akar dan tentukan nilainya.

Pembahasan:

16^1/2 = √16 = 4

Karena 4 × 4 = 16, maka √16 = 4.

Mudah

2. Ubahlah 27^1/3 ke bentuk akar dan tentukan nilainya.

Pembahasan:

27^1/3 = 3√27 = 3

Karena 3 × 3 × 3 = 27.

Mudah

3. Ubahlah 81^1/4 ke bentuk akar dan tentukan nilainya.

Pembahasan:

81^1/4 = 4√81 = 3

Karena 3⁴ = 81.

Mudah

4. Ubahlah √49 ke bentuk pangkat pecahan.

Pembahasan:

√49 = 49^1/2 = 7

Mudah

5. Ubahlah 3√64 ke bentuk pangkat pecahan.

Pembahasan:

3√64 = 64^1/3 = 4

Karena 4³ = 64.

Mudah

6. Tentukan nilai dari 100^1/2.

Pembahasan:

100^1/2 = √100 = 10

Mudah

7. Tentukan nilai dari 125^1/3.

Pembahasan:

125^1/3 = 3√125 = 5

Karena 5³ = 125.

Mudah

8. Ubahlah 4√16 ke bentuk pangkat pecahan.

Pembahasan:

4√16 = 16^1/4 = 2

Karena 2⁴ = 16.

Mudah

9. Tentukan nilai dari 36^1/2.

Pembahasan:

36^1/2 = √36 = 6

Mudah

10. Ubahlah √144 ke bentuk pangkat pecahan dan tentukan nilainya.

Pembahasan:

√144 = 144^1/2 = 12

● Soal Sedang (11–15)

Sedang

11. Tentukan nilai dari 8^2/3.

Pembahasan:

8^2/3 = (3√8)² = 2² = 4

Atau: 8^2/3 = 3√8² = 3√64 = 4

Sedang

12. Tentukan nilai dari 16^3/4.

Pembahasan:

16^3/4 = (4√16)³ = 2³ = 8

Sedang

13. Tentukan nilai dari 27^2/3.

Pembahasan:

27^2/3 = (3√27)² = 3² = 9

Sedang

14. Ubahlah (3√5)⁴ ke bentuk pangkat pecahan.

Pembahasan:

(3√5)⁴ = (5^1/3)⁴ = 5^4/3

Sedang

15. Tentukan nilai dari (4/25)^1/2.

Pembahasan:

(4/25)^1/2 = 4^1/2 / 25^1/2 = √4 / √25 = 2/5

● Soal Sulit (16–20)

Sulit

16. Tentukan nilai dari 32^−2/5.

Pembahasan:

32^−2/5 = 1 / 32^2/5

= 1 / (5√32)²

= 1 / 2² = 1/4

Karena 5√32 = 2 (karena 2⁵ = 32).

Sulit

17. Sederhanakan: 8^2/3 × 4^1/2 ÷ 2³.

Pembahasan:

8^2/3 = (2³)^2/3 = 2² = 4

4^1/2 = (2²)^1/2 = 2¹ = 2

2³ = 8

Maka: 4 × 2 ÷ 8 = 8/8 = 1

Atau dengan pangkat: 2² × 2¹ ÷ 2³ = 2²⁺¹⁻³ = 2⁰ = 1

Sulit

18. Tentukan nilai dari (27/8)^−2/3.

Pembahasan:

(27/8)^−2/3 = (8/27)^2/3

= 8^2/3 / 27^2/3

= (3√8)² / (3√27)²

= 2² / 3² = 4/9

Sulit

19. Sederhanakan: (x^3/4 × x^1/2) ÷ x^1/4.

Pembahasan:

= x^{3/4 + 1/2 − 1/4}

= x^{3/4 + 2/4 − 1/4}

= x^4/4 = x¹ = x

Sulit

20. Jika 2^x = 4√32, tentukan nilai x.

Pembahasan:

4√32 = 32^1/4 = (2⁵)^1/4 = 2^5/4

Maka: 2^x = 2^5/4

Jadi x = 5/4

📋 Latihan Soal: Hubungan Pangkat Pecahan dan Bentuk Akar

● Mudah (1–10)

Tentukan nilai dari 64^1/2.
Tentukan nilai dari 8^1/3.
Ubahlah √81 ke bentuk pangkat pecahan.
Tentukan nilai dari 256^1/4.
Ubahlah 3√1000 ke bentuk pangkat pecahan.
Tentukan nilai dari 49^1/2.
Tentukan nilai dari 32^1/5.
Ubahlah √225 ke bentuk pangkat pecahan dan tentukan nilainya.
Tentukan nilai dari 1^1/3.
Ubahlah 5√243 ke bentuk pangkat pecahan dan tentukan nilainya.

● Sedang (11–15)

Tentukan nilai dari 25^3/2.
Tentukan nilai dari 16^5/4.
Ubahlah (4√7)³ ke bentuk pangkat pecahan.
Tentukan nilai dari (9/16)^1/2.
Tentukan nilai dari 64^2/3.

● Sulit (16–20)

Tentukan nilai dari 16^−3/4.
Sederhanakan: 27^2/3 × 9^1/2 ÷ 3⁴.
Tentukan nilai dari (8/125)^−1/3.
Jika 3^x = 3√81, tentukan nilai x.
Sederhanakan: (a^2/3 × a^−1/6) ÷ a^1/2.

B. Menyederhanakan Pangkat Pecahan

🔍 Kegiatan 1: Mengamati

Perhatikan contoh penyederhanaan berikut:

Contoh 1: 4 3/2 = (2 2) 3/2 = 2 2\times(3/2) = 2 3 = 8 Contoh 2: (8x 6) 2/3 = 8 2/3 \times (x 6) 2/3 = (2 3) 2/3 \times x 6\times(2/3) = 2 2 \times x 4 = 4x 4

❓ Kegiatan 2: Menanya

Bagaimana langkah-langkah menyederhanakan pangkat pecahan?
Sifat-sifat apa saja yang digunakan?
Bagaimana menyederhanakan jika terdapat variabel?

💡 Kegiatan 3: Menalar

Langkah Menyederhanakan Pangkat Pecahan

Faktorkan basis menjadi bilangan prima berpangkat.
Terapkan sifat (a^m)ⁿ = a^m×n.
Kalikan pangkat dan sederhanakan.
Gabungkan basis yang sama dengan menjumlah/mengurang pangkat.

Sifat-sifat yang digunakan:

1. a m \times a n = a m+n Perkalian basis sama 2. a m \div a n = a m-n Pembagian basis sama 3. (a m) n = a m\timesn Pangkat dari pangkat 4. (ab) n = a n \times b n Pangkat perkalian 5. a -n = 1/a n Pangkat negatif 6. a 0 = 1 Pangkat nol

✏️ Kegiatan 4: Mencoba

Ikuti langkah penyederhanaan berikut:

Sederhanakan: (16a 8 b 4) 3/4 Langkah 1: Uraikan = 16 3/4 \times (a 8) 3/4 \times (b 4) 3/4 Langkah 2: Hitung masing-masing 16 3/4 = (2 4) 3/4 = 2 3 = 8 (a 8) 3/4 = a 8\times3/4 = a 6 (b 4) 3/4 = b 4\times3/4 = b 3 Hasil: 8a 6 b 3

📢 Kegiatan 5: Mengkomunikasikan

Kesimpulan: Untuk menyederhanakan pangkat pecahan, uraikan basis ke bentuk prima berpangkat. Gunakan sifat (a m) n = a m\timesn untuk mengalikan pangkat. Gabungkan basis sama dan sederhanakan pecahan pada pangkat. Pangkat negatif diubah menjadi bentuk 1/a n .

📝 Contoh Soal: Menyederhanakan Pangkat Pecahan

● Soal Mudah (1–10)

Mudah

1. Sederhanakan 9^3/2.

Pembahasan:

9^3/2 = (3²)^3/2 = 3^2×3/2 = 3³ = 27

Mudah

2. Sederhanakan 4^5/2.

Pembahasan:

4^5/2 = (2²)^5/2 = 2⁵ = 32

Mudah

3. Sederhanakan 27^4/3.

Pembahasan:

27^4/3 = (3³)^4/3 = 3⁴ = 81

Mudah

4. Sederhanakan x^1/2 × x^1/2.

Pembahasan:

x^1/2 × x^1/2 = x^{1/2 + 1/2} = x¹ = x

Mudah

5. Sederhanakan a^3/4 × a^1/4.

Pembahasan:

a^3/4 × a^1/4 = a^{3/4 + 1/4} = a^4/4 = a¹ = a

Mudah

6. Sederhanakan y^5/3 ÷ y^2/3.

Pembahasan:

y^5/3 ÷ y^2/3 = y^{5/3 − 2/3} = y^3/3 = y

Mudah

7. Sederhanakan (x²)^1/2.

Pembahasan:

(x²)^1/2 = x^2×1/2 = x¹ = x

Mudah

8. Sederhanakan 8^4/3.

Pembahasan:

8^4/3 = (2³)^4/3 = 2⁴ = 16

Mudah

9. Sederhanakan 16^1/2 × 16^1/2.

Pembahasan:

16^1/2 × 16^1/2 = 16^1/2+1/2 = 16¹ = 16

Mudah

10. Sederhanakan (m⁶)^1/3.

Pembahasan:

(m⁶)^1/3 = m^6×1/3 = m²

● Soal Sedang (11–15)

Sedang

11. Sederhanakan (4x⁴)^3/2.

Pembahasan:

= 4^3/2 × (x⁴)^3/2

= (2²)^3/2 × x⁶

= 2³ × x⁶ = 8x⁶

Sedang

12. Sederhanakan (27a⁹)^2/3.

Pembahasan:

= 27^2/3 × (a⁹)^2/3

= (3³)^2/3 × a⁶

= 3² × a⁶ = 9a⁶

Sedang

13. Sederhanakan: x^2/3 × x^1/6 ÷ x^1/2.

Pembahasan:

= x^{2/3 + 1/6 − 1/2}

= x^{4/6 + 1/6 − 3/6}

= x^2/6 = x^1/3

Sedang

14. Sederhanakan: (8/27)^2/3.

Pembahasan:

= 8^2/3 / 27^2/3

= (2³)^2/3 / (3³)^2/3

= 2² / 3² = 4/9

Sedang

15. Sederhanakan: 2^1/2 × 8^1/2.

Pembahasan:

= 2^1/2 × (2³)^1/2

= 2^1/2 × 2^3/2

= 2^{1/2 + 3/2} = 2^4/2 = 2² = 4

● Soal Sulit (16–20)

Sulit

16. Sederhanakan: (32x¹⁰y⁻⁵)^2/5.

Pembahasan:

= 32^2/5 × (x¹⁰)^2/5 × (y⁻⁵)^2/5

= (2⁵)^2/5 × x⁴ × y⁻²

= 2² × x⁴ × y⁻²

= 4x⁴/y²

Sulit

17. Sederhanakan: (a^1/2 + b^1/2)(a^1/2 − b^1/2).

Pembahasan:

Menggunakan rumus (p + q)(p − q) = p² − q²

= (a^1/2)² − (b^1/2)²

= a − b

Sulit

18. Sederhanakan: (4^1/3 × 8^2/3) ÷ 2^1/3.

Pembahasan:

4^1/3 = (2²)^1/3 = 2^2/3

8^2/3 = (2³)^2/3 = 2²

Maka: 2^2/3 × 2² ÷ 2^1/3

= 2^{2/3 + 2 − 1/3} = 2^{2/3 + 6/3 − 1/3} = 2^7/3

Sulit

19. Sederhanakan: x^3/4 × y^−1/2x^−1/4 × y^1/2

Pembahasan:

= x^{3/4−(−1/4)} × y^−1/2−1/2

= x^3/4+1/4 × y⁻¹

= x¹ × y⁻¹ = x/y

Sulit

20. Sederhanakan: (a^2/3b^−1/3)³ × (a⁻¹b²)^1/3.

Pembahasan:

(a^2/3b^−1/3)³ = a²b⁻¹

(a⁻¹b²)^1/3 = a^−1/3b^2/3

= a²b⁻¹ × a^−1/3b^2/3

= a^2−1/3 × b^−1+2/3

= a^5/3 × b^−1/3

= a^5/3 / b^1/3

📋 Latihan Soal: Menyederhanakan Pangkat Pecahan

● Mudah (1–10)

Sederhanakan 25^3/2.
Sederhanakan 8^5/3.
Sederhanakan x^2/5 × x^3/5.
Sederhanakan a^7/4 ÷ a^3/4.
Sederhanakan (y⁴)^1/2.
Sederhanakan 16^3/2.
Sederhanakan (p⁹)^1/3.
Sederhanakan 4^3/2 × 4^1/2.
Sederhanakan m^5/6 ÷ m^1/6.
Sederhanakan (32)^3/5.

● Sedang (11–15)

Sederhanakan (9a⁴)^3/2.
Sederhanakan (64x⁶)^2/3.
Sederhanakan: a^1/3 × a^1/4 ÷ a^1/12.
Sederhanakan: (16/81)^3/4.
Sederhanakan: 3^1/2 × 27^1/2.

● Sulit (16–20)

Sederhanakan: (81x⁻⁸y¹²)^3/4.
Sederhanakan: (p^1/3 − q^1/3)(p^2/3 + p^1/3q^1/3 + q^2/3).
Sederhanakan: (2^1/2 × 4^3/4) ÷ 8^1/6.
Sederhanakan: a^5/6 × b^−2/3a^−1/6 × b^1/3
Sederhanakan: (x^1/2y^−1/3)⁶ × (x⁻²y³)^1/3.

Bilangan Berpangkat – Bilangan Berpangkat Pecahan

Bilangan Berpangkat Pecahan

A. Hubungan Pangkat Pecahan dan Bentuk Akar

🔍 Kegiatan 1: Mengamati

❓ Kegiatan 2: Menanya

💡 Kegiatan 3: Menalar

Definisi Pangkat Pecahan

Penjelasan Detail:

Sifat-sifat Pangkat Pecahan:

✏️ Kegiatan 4: Mencoba

📢 Kegiatan 5: Mengkomunikasikan

● Soal Mudah (1–10)

● Soal Sedang (11–15)

● Soal Sulit (16–20)

● Mudah (1–10)

● Sedang (11–15)

● Sulit (16–20)

B. Menyederhanakan Pangkat Pecahan

🔍 Kegiatan 1: Mengamati

❓ Kegiatan 2: Menanya

💡 Kegiatan 3: Menalar

Langkah Menyederhanakan Pangkat Pecahan

Sifat-sifat yang digunakan:

✏️ Kegiatan 4: Mencoba

📢 Kegiatan 5: Mengkomunikasikan

● Soal Mudah (1–10)

● Soal Sedang (11–15)

● Soal Sulit (16–20)

● Mudah (1–10)

● Sedang (11–15)

● Sulit (16–20)

By admin ngelu

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed

Bilangan Berpangkat – Bilangan Berpangkat Pecahan

Bilangan Berpangkat – Bentuk Baku (Notasi Ilmiah)

Bilangan Berpangkat – Pangkat Nol dan Pangkat Bulat Negatif

Bilangan Berpangkat – Sifat-sifat Operasi Bilangan Berpangkat (Pangkat Bulat Positif)

1. a^m × aⁿ = a^m+n	Perkalian basis sama
2. a^m ÷ aⁿ = a^m−n	Pembagian basis sama
3. (a^m)ⁿ = a^m×n	Pangkat dari pangkat
4. (ab)ⁿ = aⁿ × bⁿ	Pangkat perkalian
5. a⁻ⁿ = 1/aⁿ	Pangkat negatif
6. a⁰ = 1	Pangkat nol

A. Hubungan Pangkat Pecahan dan Bentuk Akar

🔍 Kegiatan 1: Mengamati

❓ Kegiatan 2: Menanya

💡 Kegiatan 3: Menalar

Definisi Pangkat Pecahan

Penjelasan Detail:

Sifat-sifat Pangkat Pecahan:

✏️ Kegiatan 4: Mencoba

📢 Kegiatan 5: Mengkomunikasikan

● Soal Mudah (1–10)

● Soal Sedang (11–15)

● Soal Sulit (16–20)

● Mudah (1–10)

● Sedang (11–15)

● Sulit (16–20)

B. Menyederhanakan Pangkat Pecahan

🔍 Kegiatan 1: Mengamati

❓ Kegiatan 2: Menanya

💡 Kegiatan 3: Menalar

Langkah Menyederhanakan Pangkat Pecahan

Sifat-sifat yang digunakan:

✏️ Kegiatan 4: Mencoba

📢 Kegiatan 5: Mengkomunikasikan

● Soal Mudah (1–10)

● Soal Sedang (11–15)

● Soal Sulit (16–20)

● Mudah (1–10)

● Sedang (11–15)

● Sulit (16–20)

By admin ngelu

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed