Pangkat Nol dan Pangkat Bulat Negatif
Matematika Kelas IX SMP/MTs
📗 Materi 1: Memahami Pangkat Nol
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan pola berikut ini:
| Bilangan Berpangkat | Bentuk Uraian | Hasil |
|---|---|---|
| 24 | 2 × 2 × 2 × 2 | 16 |
| 23 | 2 × 2 × 2 | 8 |
| 22 | 2 × 2 | 4 |
| 21 | 2 | 2 |
| 20 | ? | ? |
Amati: Setiap pangkat turun 1, hasilnya dibagi 2. Maka 20 = 2 ÷ 2 = 1
❓ Kegiatan: Menanya
- Mengapa bilangan apapun (selain 0) dipangkatkan nol hasilnya 1?
- Apakah 00 terdefinisi?
- Bagaimana membuktikan bahwa a0 = 1?
💡 Kegiatan: Menalar
Pembuktian menggunakan sifat pembagian bilangan berpangkat:
Kita tahu bahwa: am ÷ an = am−n
Jika m = n, maka:
am ÷ am = am−m = a0
Di sisi lain:
am ÷ am = 1 (bilangan dibagi dirinya sendiri = 1)
∴ a0 = 1, untuk a ≠ 0
✏️ Kegiatan: Mencoba
Coba buktikan dengan pola yang sama untuk bilangan lain:
| Bilangan | Pola ÷3 | Hasil |
|---|---|---|
| 33 | 27 | 27 |
| 32 | 27 ÷ 3 | 9 |
| 31 | 9 ÷ 3 | 3 |
| 30 | 3 ÷ 3 | 1 |
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Definisi Pangkat Nol:
a0 = 1, untuk setiap a ≠ 0
Artinya: Bilangan berapapun (selain nol) jika dipangkatkan nol, hasilnya selalu 1.
Contoh cepat:
- 50 = 1
- (−7)0 = 1
- 1000 = 1
- (⅔)0 = 1
📝 Contoh Soal: Pangkat Nol
MUDAH
1. Tentukan nilai dari 70
Pembahasan:
Berdasarkan definisi: a0 = 1 untuk a ≠ 0
Maka 70 = 1
2. Tentukan nilai dari 150
Pembahasan:
150 = 1 (setiap bilangan ≠ 0 dipangkatkan 0 hasilnya 1)
3. Tentukan nilai dari (−3)0
Pembahasan:
(−3)0 = 1
Catatan: Bilangan negatif dipangkatkan nol juga menghasilkan 1.
4. Tentukan nilai dari 10000
Pembahasan:
10000 = 1
5. Tentukan nilai dari (−100)0
Pembahasan:
(−100)0 = 1
6. Tentukan nilai dari 50 + 30
Pembahasan:
50 + 30 = 1 + 1 = 2
7. Tentukan nilai dari 40 × 60
Pembahasan:
40 × 60 = 1 × 1 = 1
8. Tentukan nilai dari 20 + 40 + 60
Pembahasan:
= 1 + 1 + 1 = 3
9. Tentukan nilai dari 100 − 80
Pembahasan:
= 1 − 1 = 0
10. Tentukan nilai dari 3 × 50
Pembahasan:
= 3 × 1 = 3
Catatan: Hanya 5 yang dipangkatkan 0, bukan 3 × 5.
SEDANG
11. Sederhanakan: 43 × 40 ÷ 42
Pembahasan:
= 43+0−2 = 41 = 4
12. Tentukan nilai dari (20 + 30)3
Pembahasan:
= (1 + 1)3 = 23 = 8
13. Tentukan nilai dari 52 × 50 + 30
Pembahasan:
= 25 × 1 + 1 = 25 + 1 = 26
14. Jika x0 = 1, tentukan nilai dari 3x0 + 2x0 − x0
Pembahasan:
= 3(1) + 2(1) − 1 = 3 + 2 − 1 = 4
15. Sederhanakan: 6565
Pembahasan:
= 65−5 = 60 = 1
SULIT
16. Tentukan nilai dari (30 + 50)2 × (20 − 70)5
Pembahasan:
= (1 + 1)2 × (1 − 1)5
= 22 × 05
= 4 × 0 = 0
17. Buktikan bahwa am × b0am = 1
Pembahasan:
= am × 1am = amam = am−m = a0 = 1 ∎
18. Tentukan nilai dari (20 + 30 + 40)2 − (50)10
Pembahasan:
= (1 + 1 + 1)2 − 110
= 32 − 1 = 9 − 1 = 8
19. Jika p = 4 dan q = 5, tentukan nilai dari (p0 × q2) + (p2 × q0)
Pembahasan:
= (1 × 25) + (16 × 1) = 25 + 16 = 41
20. Sederhanakan: (a3b2)0 + (2ab)0(a0 + b0)0
Pembahasan:
Pembilang: 1 + 1 = 2
Penyebut: (1 + 1)0 = 20 = 1
= 21 = 2
📋 Latihan Soal: Pangkat Nol
MUDAH
- Tentukan nilai dari 120
- Tentukan nilai dari (−9)0
- Tentukan nilai dari 2500
- Tentukan nilai dari 20 + 70
- Tentukan nilai dari 80 × 90
- Tentukan nilai dari 5 × 40
- Tentukan nilai dari 60 + 61
- Tentukan nilai dari 110 − (−2)0
- Tentukan nilai dari 30 + 30 + 30
- Tentukan nilai dari 7 × 20 − 30
SEDANG
- Tentukan nilai dari (40 + 50)4
- Sederhanakan: 34 × 30 ÷ 32
- Tentukan nilai dari 23 × 40 + 52 × 20
- Sederhanakan: 8787
- Tentukan nilai x jika x0 + x = 6
SULIT
- Tentukan nilai dari (20 + 30)3 − (40 + 50)2
- Buktikan bahwa (a0)n = 1 untuk semua bilangan bulat n
- Sederhanakan: (x5y3)0(x0y0)2
- Tentukan nilai dari (10 + 20 + 30 + … + 1000)
- Jika a = 3, tentukan nilai dari (a0 + a)2 − (a2 + a0)
📘 Materi 2: Memahami Pangkat Bulat Negatif
🔍 Kegiatan: Mengamati
Lanjutkan pola dari pangkat nol ke arah negatif:
| Bilangan Berpangkat | Pola (÷2) | Hasil | Bentuk Pecahan |
|---|---|---|---|
| 22 | — | 4 | 4 |
| 21 | 4 ÷ 2 | 2 | 2 |
| 20 | 2 ÷ 2 | 1 | 1 |
| 2−1 | 1 ÷ 2 | 0,5 | 12 |
| 2−2 | 0,5 ÷ 2 | 0,25 | 14 = 122 |
| 2−3 | 0,25 ÷ 2 | 0,125 | 18 = 123 |
❓ Kegiatan: Menanya
- Apa hubungan antara pangkat negatif dan pecahan?
- Bagaimana cara mengubah pangkat negatif menjadi bentuk positif?
- Apakah hasilnya selalu pecahan?
💡 Kegiatan: Menalar
Pembuktian menggunakan sifat pembagian:
Kita tahu: am ÷ an = am−n
Misalkan m = 0 dan n positif:
a0 ÷ an = a0−n = a−n
Di sisi lain:
a0 ÷ an = 1 ÷ an = 1an
∴ a−n = 1an, untuk a ≠ 0 dan n bilangan bulat positif
✏️ Kegiatan: Mencoba
Lengkapi tabel berikut:
| Pangkat Negatif | Bentuk Pecahan | Nilai |
|---|---|---|
| 5−1 | 151 | 15 = 0,2 |
| 3−2 | 132 | 19 |
| 10−3 | 1103 | 11000 = 0,001 |
| 4−2 | 142 | 116 |
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Definisi Pangkat Bulat Negatif:
a−n = 1an, untuk a ≠ 0
Sifat tambahan:
1a−n = an
(ab)−n = (ba)n
📝 Contoh Soal: Pangkat Bulat Negatif
MUDAH
1. Nyatakan 4−1 dalam bentuk pecahan
Pembahasan:
4−1 = 141 = 14
2. Nyatakan 3−2 dalam bentuk pecahan
Pembahasan:
3−2 = 132 = 19
3. Nyatakan 2−3 dalam bentuk pecahan
Pembahasan:
2−3 = 123 = 18
4. Nyatakan 10−2 dalam bentuk desimal
Pembahasan:
10−2 = 1102 = 1100 = 0,01
5. Nyatakan 5−2 dalam bentuk pecahan
Pembahasan:
5−2 = 152 = 125
6. Nyatakan 6−1 dalam bentuk pecahan
Pembahasan:
6−1 = 16
7. Nyatakan 7−2 dalam bentuk pecahan
Pembahasan:
7−2 = 172 = 149
8. Nyatakan 116 dalam bentuk pangkat negatif dari 2
Pembahasan:
116 = 124 = 2−4
9. Nyatakan 127 dalam bentuk pangkat negatif dari 3
Pembahasan:
127 = 133 = 3−3
10. Tentukan nilai dari (−2)−2
Pembahasan:
(−2)−2 = 1(−2)2 = 14 = 14
SEDANG
11. Sederhanakan: 2−3 × 25
Pembahasan:
= 2−3+5 = 22 = 4
12. Sederhanakan: 3436
Pembahasan:
= 34−6 = 3−2 = 19
13. Nyatakan (23)−2 dalam bentuk pecahan biasa
Pembahasan:
(23)−2 = (32)2 = 94 = 214
14. Sederhanakan: (4−1)2
Pembahasan:
= 4−1×2 = 4−2 = 116
15. Tentukan nilai dari 5−1 + 5−2
Pembahasan:
= 15 + 125 = 525 + 125 = 625
SULIT
16. Sederhanakan: 2−3 × 428−1
Pembahasan:
Ubah semua ke basis 2:
= 2−3 × (22)2(23)−1 = 2−3 × 242−3
= 2−3+42−3 = 212−3 = 21−(−3) = 24 = 16
17. Sederhanakan: (3−2 × 93) ÷ 27−1
Pembahasan:
Ubah ke basis 3: 9 = 32, 27 = 33
= (3−2 × 36) ÷ 3−3
= 3−2+6 ÷ 3−3 = 34 ÷ 3−3
= 34−(−3) = 37 = 2187
18. Sederhanakan: a−3b2a2b−4
Pembahasan:
= a−3−2 × b2−(−4) = a−5 × b6 = b6a5
19. Tentukan nilai dari 2−1 + 3−1 + 6−1
Pembahasan:
= 12 + 13 + 16
= 36 + 26 + 16 = 66 = 1
20. Jika 2x = 132, tentukan nilai x
Pembahasan:
132 = 125 = 2−5
Maka 2x = 2−5
x = −5
📋 Latihan Soal: Pangkat Bulat Negatif
MUDAH
- Nyatakan 8−1 dalam bentuk pecahan
- Nyatakan 4−2 dalam bentuk pecahan
- Nyatakan 10−3 dalam bentuk desimal
- Nyatakan 6−2 dalam bentuk pecahan
- Nyatakan 2−5 dalam bentuk pecahan
- Nyatakan 164 dalam bentuk pangkat negatif dari 4
- Nyatakan 1125 dalam bentuk pangkat negatif dari 5
- Tentukan nilai dari (−3)−2
- Tentukan nilai dari 10−1
- Nyatakan 9−1 dalam bentuk pecahan
SEDANG
- Sederhanakan: 5−2 × 54
- Sederhanakan: (34)−2
- Tentukan nilai dari 2−2 + 4−1
- Sederhanakan: (2−1)3
- Sederhanakan: 6365
SULIT
- Sederhanakan: 3−2 × 2729−1
- Sederhanakan: x−4y3x2y−2
- Tentukan nilai x jika 3x = 181
- Tentukan nilai dari (2−1 + 3−1)−1
- Sederhanakan: (2−2 × 43) ÷ 8−2
📙 Materi 3: Operasi Campuran Melibatkan Pangkat Negatif dan Nol
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan sifat-sifat bilangan berpangkat yang berlaku untuk pangkat negatif dan nol:
| Sifat | Rumus | Contoh |
|---|---|---|
| Perkalian basis sama | am × an = am+n | 2−3 × 25 = 22 = 4 |
| Pembagian basis sama | am ÷ an = am−n | 52 ÷ 54 = 5−2 |
| Pangkat dari pangkat | (am)n = am×n | (3−2)3 = 3−6 |
| Pangkat nol | a0 = 1 | 990 = 1 |
| Pangkat negatif | a−n = 1/an | 4−2 = 1/16 |
❓ Kegiatan: Menanya
- Bagaimana urutan pengerjaan jika ada pangkat nol dan negatif dalam satu soal?
- Bagaimana menyederhanakan ekspresi yang mengandung campuran pangkat positif, negatif, dan nol?
- Kapan lebih mudah mengubah ke bentuk pecahan, dan kapan lebih mudah menggunakan sifat pangkat?
💡 Kegiatan: Menalar
Langkah-langkah menyelesaikan operasi campuran:
- Identifikasi: Kenali semua pangkat (positif, nol, negatif)
- Sederhanakan pangkat nol: Ganti semua a0 dengan 1
- Samakan basis: Jika memungkinkan, ubah semua bilangan ke basis yang sama
- Gunakan sifat pangkat: Terapkan sifat perkalian/pembagian/pemangkatan
- Sederhanakan: Ubah pangkat negatif ke bentuk pecahan jika diperlukan
✏️ Kegiatan: Mencoba
Contoh penerapan langkah demi langkah:
Sederhanakan: 23 × 4−1 × 80
Langkah 1: 80 = 1
Langkah 2: Ubah ke basis 2: 4−1 = (22)−1 = 2−2
Langkah 3: = 23 × 2−2 × 1
Langkah 4: = 23+(−2) = 21 = 2
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Ringkasan Sifat Operasi Campuran:
- • am × an = am+n (berlaku untuk m, n bilangan bulat)
- • am ÷ an = am−n
- • (am)n = am×n
- • (ab)n = an × bn
- • a0 = 1 (a ≠ 0)
- • a−n = 1an
📝 Contoh Soal: Operasi Campuran
MUDAH
1. Tentukan nilai dari 32 × 3−2
Pembahasan:
= 32+(−2) = 30 = 1
2. Tentukan nilai dari 53 × 50 × 5−3
Pembahasan:
= 53+0+(−3) = 50 = 1
3. Sederhanakan: 24 ÷ 24
Pembahasan:
= 24−4 = 20 = 1
4. Tentukan nilai dari 40 + 4−1
Pembahasan:
= 1 + 14 = 54 = 1,25
5. Tentukan nilai dari 20 × 3−1
Pembahasan:
= 1 × 13 = 13
6. Tentukan nilai dari 6−1 × 60
Pembahasan:
= 6−1+0 = 6−1 = 16
7. Tentukan nilai dari 100 − 10−1
Pembahasan:
= 1 − 110 = 1010 − 110 = 910
8. Tentukan nilai dari 2−1 + 20 + 21
Pembahasan:
= 12 + 1 + 2 = 72 = 3,5
9. Sederhanakan: 72 × 70 ÷ 7−1
Pembahasan:
= 72+0−(−1) = 73 = 343
10. Tentukan nilai dari 30 + 3−1 + 3−2
Pembahasan:
= 1 + 13 + 19 = 99 + 39 + 19 = 139
SEDANG
11. Sederhanakan: 23 × 4−220
Pembahasan:
4−2 = (22)−2 = 2−4
= 23 × 2−41 = 23+(−4) = 2−1 = 12
12. Sederhanakan: (3−1)2 × 90 × 34
Pembahasan:
= 3−2 × 1 × 34 = 3−2+4 = 32 = 9
13. Tentukan nilai dari (2−1 + 40)2
Pembahasan:
= (12 + 1)2 = (32)2 = 94
14. Sederhanakan: 5−2 × 25350 × 52
Pembahasan:
25 = 52, jadi 253 = 56
= 5−2 × 561 × 52 = 5452 = 52 = 25
15. Tentukan nilai dari (30 + 2−1)(3−1 + 20)
Pembahasan:
Pembilang: 1 + 12 = 32
Penyebut: 13 + 1 = 43
= 3/24/3 = 32 × 34 = 98
SULIT
16. Sederhanakan: 2−3 × 42 × 8016−1 × 23
Pembahasan:
Ubah semua ke basis 2: 42 = 24, 80 = 1, 16−1 = 2−4
= 2−3 × 24 × 12−4 × 23 = 212−1 = 21−(−1) = 22 = 4
17. Sederhanakan: (a−2b3)−1 × (ab0)2a−1b−3
Pembahasan:
Pembilang: (a2b−3) × (a2 × 1) = a4b−3
= a4b−3a−1b−3 = a4−(−1) × b−3−(−3) = a5 × b0 = a5
18. Tentukan nilai dari (2−1 + 3−1)−2
Pembahasan:
Dalam kurung: 12 + 13 = 56
= (56)−2 = (65)2 = 3625
19. Sederhanakan: 3−2 × 93 × 27081−1 × 34
Pembahasan:
Ubah ke basis 3: 93 = 36, 270 = 1, 81−1 = 3−4
= 3−2 × 36 × 13−4 × 34 = 3430 = 341 = 81
20. Jika x = 2−1 dan y = 3−1, tentukan nilai dari x−2 + y−2(xy)−1
Pembahasan:
x−2 = (2−1)−2 = 22 = 4
y−2 = (3−1)−2 = 32 = 9
xy = 2−1 × 3−1 = 16
(xy)−1 = 6
= 4 + 96 = 136
📋 Latihan Soal: Operasi Campuran
MUDAH
- Tentukan nilai dari 42 × 4−2
- Tentukan nilai dari 60 + 6−1
- Tentukan nilai dari 23 × 20 × 2−1
- Tentukan nilai dari 50 − 5−1
- Sederhanakan: 102 ÷ 102
- Tentukan nilai dari 3−1 × 30 × 32
- Tentukan nilai dari 80 + 2−3
- Tentukan nilai dari 70 × 7−1
- Tentukan nilai dari 2−1 + 20
- Sederhanakan: 93 × 9−3 × 90
SEDANG
- Sederhanakan: 32 × 3−430
- Tentukan nilai dari (50 + 2−1)2
- Sederhanakan: (2−2)3 × 43
- Tentukan nilai dari 40 + 2−22−1
- Sederhanakan: 6−2 × 36260
SULIT
- Sederhanakan: (2−1)3 × 42 × 8016−1
- Tentukan nilai dari (3−1 + 2−1)−1 × 60
- Sederhanakan: (a−3b2)−2(a2b−1)3 × (ab)0
- Tentukan nilai dari 2−2 + 3−2(2−1 × 3−1)2
- Jika 2a × 4b × 80 = 116 dan a + 2b = −4, buktikan bahwa persamaan tersebut konsisten