Pengenalan Bilangan Berpangkat
Konsep Perkalian Berulang
Matematika SMP/MTs
A. Pengertian Bilangan Berpangkat
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan perkalian berulang berikut ini:
- 2 × 2 × 2 = 8
- 3 × 3 × 3 × 3 = 81
- 5 × 5 = 25
- 10 × 10 × 10 = 1.000
Apakah kamu melihat pola? Setiap perkalian di atas menggunakan bilangan yang sama yang dikalikan secara berulang.
❓ Kegiatan: Menanya
Dari pengamatan di atas, muncul pertanyaan:
- Bagaimana cara menulis perkalian berulang dengan lebih singkat?
- Apa nama dari penulisan singkat tersebut?
- Apa arti dari setiap bagian dalam penulisan singkat itu?
💡 Kegiatan: Menalar
Bilangan berpangkat adalah cara penulisan singkat dari perkalian berulang bilangan yang sama.
Definisi:
an = a × a × a × … × a (sebanyak n faktor)
Keterangan:
- a = bilangan pokok (basis)
- n = pangkat (eksponen)
- Dibaca: “a pangkat n”
Contoh penulisan:
| Perkalian Berulang | Notasi Pangkat | Dibaca | Hasil |
|---|---|---|---|
| 2 × 2 × 2 | 23 | dua pangkat tiga | 8 |
| 3 × 3 × 3 × 3 | 34 | tiga pangkat empat | 81 |
| 5 × 5 | 52 | lima pangkat dua | 25 |
| 10 × 10 × 10 | 103 | sepuluh pangkat tiga | 1.000 |
| 4 × 4 × 4 × 4 × 4 | 45 | empat pangkat lima | 1.024 |
✏️ Kegiatan: Mencoba
Coba tuliskan perkalian berulang berikut dalam bentuk bilangan berpangkat:
- 7 × 7 × 7 = …?
- 6 × 6 × 6 × 6 = …?
- 9 × 9 = …?
Jawaban: 73, 64, 92
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Kesimpulan: Bilangan berpangkat an artinya bilangan a dikalikan dengan dirinya sendiri sebanyak n kali. Bilangan a disebut basis dan bilangan n disebut eksponen.
Pangkat Khusus
- Pangkat 1: a1 = a (contoh: 51 = 5)
- Pangkat 0: a0 = 1, untuk a ≠ 0 (contoh: 70 = 1)
- Pangkat 2: disebut juga “kuadrat” (contoh: 42 = 16)
- Pangkat 3: disebut juga “kubik” (contoh: 33 = 27)
B. Contoh Soal dan Pembahasan
📗 Contoh Soal Mudah (1–10)
Soal 1:
Tuliskan 4 × 4 × 4 dalam bentuk bilangan berpangkat!
Pembahasan
4 dikalikan sebanyak 3 kali, maka: 4 × 4 × 4 = 43 = 64
Soal 2:
Hitunglah nilai dari 24!
Pembahasan
24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 4 × 2 × 2 = 8 × 2 = 16
Soal 3:
Hitunglah nilai dari 52!
Pembahasan
52 = 5 × 5 = 25
Soal 4:
Tuliskan 6 × 6 dalam bentuk bilangan berpangkat!
Pembahasan
6 dikalikan sebanyak 2 kali, maka: 6 × 6 = 62 = 36
Soal 5:
Hitunglah nilai dari 33!
Pembahasan
33 = 3 × 3 × 3 = 9 × 3 = 27
Soal 6:
Hitunglah nilai dari 102!
Pembahasan
102 = 10 × 10 = 100
Soal 7:
Tuliskan 7 × 7 × 7 × 7 dalam bentuk bilangan berpangkat!
Pembahasan
7 dikalikan sebanyak 4 kali, maka: 7 × 7 × 7 × 7 = 74 = 2.401
Soal 8:
Hitunglah nilai dari 15!
Pembahasan
15 = 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 1. Bilangan 1 dipangkatkan berapapun hasilnya tetap 1.
Soal 9:
Hitunglah nilai dari 92!
Pembahasan
92 = 9 × 9 = 81
Soal 10:
Berapakah nilai dari 80?
Pembahasan
Setiap bilangan (selain 0) yang dipangkatkan 0 hasilnya 1. Jadi 80 = 1
📙 Contoh Soal Sedang (11–15)
Soal 11:
Hitunglah nilai dari 23 × 32!
Pembahasan
23 = 8 dan 32 = 9
Maka 23 × 32 = 8 × 9 = 72
Soal 12:
Sederhanakan 53 ÷ 51 dalam bentuk pangkat lalu hitung hasilnya!
Pembahasan
53 ÷ 51 = 53−1 = 52 = 25
Cara panjang: (5×5×5) ÷ 5 = 125 ÷ 5 = 25 ✓
Soal 13:
Nyatakan 64 sebagai bilangan berpangkat dengan basis 2!
Pembahasan
21=2, 22=4, 23=8, 24=16, 25=32, 26=64
Jadi 64 = 26
Soal 14:
Hitunglah nilai dari 42 + 33!
Pembahasan
42 = 16 dan 33 = 27
Maka 42 + 33 = 16 + 27 = 43
Soal 15:
Manakah yang lebih besar: 34 atau 43?
Pembahasan
34 = 3×3×3×3 = 81
43 = 4×4×4 = 64
Karena 81 > 64, maka 34 > 43
📕 Contoh Soal Sulit (16–20)
Soal 16:
Hitunglah nilai dari 25 × 32 − 43!
Pembahasan
25 = 32, 32 = 9, 43 = 64
= 32 × 9 − 64 = 288 − 64 = 224
Soal 17:
Nyatakan 1.000.000 dalam bentuk pangkat 10!
Pembahasan
1.000.000 memiliki 6 angka nol setelah angka 1.
106 = 10×10×10×10×10×10 = 1.000.000
Jadi 1.000.000 = 106
Soal 18:
Jika 2n = 128, tentukan nilai n!
Pembahasan
Kita cari: 21=2, 22=4, 23=8, 24=16, 25=32, 26=64, 27=128
Jadi n = 7
Soal 19:
Hitunglah: (23)2 + 53 − 102
Pembahasan
(23)2 = 26 = 64
53 = 125
102 = 100
= 64 + 125 − 100 = 89
Soal 20:
Sebuah bakteri membelah diri menjadi 2 setiap jam. Jika awalnya ada 1 bakteri, berapa banyak bakteri setelah 10 jam?
Pembahasan
Setiap jam jumlah menjadi 2 kali lipat:
Jam ke-1: 21 = 2
Jam ke-2: 22 = 4
…
Jam ke-10: 210 = 1.024 bakteri
C. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
📗 Latihan Mudah (1–10)
- Tuliskan 3 × 3 × 3 × 3 × 3 dalam bentuk bilangan berpangkat!
- Hitunglah nilai dari 62!
- Hitunglah nilai dari 25!
- Tuliskan 8 × 8 × 8 dalam bentuk pangkat!
- Hitunglah nilai dari 43!
- Berapakah nilai dari 120?
- Hitunglah nilai dari 72!
- Tuliskan 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 dalam bentuk pangkat!
- Hitunglah nilai dari 104!
- Hitunglah nilai dari 112!
📙 Latihan Sedang (11–15)
- Hitunglah nilai dari 24 + 32!
- Nyatakan 243 sebagai bilangan berpangkat dengan basis 3!
- Manakah yang lebih besar: 25 atau 52?
- Hitunglah: 53 − 42 × 2
- Nyatakan 10.000 dalam bentuk pangkat 10!
📕 Latihan Sulit (16–20)
- Jika 3n = 729, tentukan nilai n!
- Hitunglah: (32)3 − 25 × 5
- Sebuah kertas dilipat menjadi 2 bagian setiap kali lipatan. Berapa bagian kertas setelah dilipat 8 kali?
- Urutkan dari terkecil: 43, 34, 26, 52
- Hitunglah: 24 × 32 + 53 − 102
D. Tabel Referensi Bilangan Berpangkat
| Basis | Pangkat 1 | Pangkat 2 | Pangkat 3 | Pangkat 4 | Pangkat 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 |
| 3 | 3 | 9 | 27 | 81 | 243 |
| 4 | 4 | 16 | 64 | 256 | 1.024 |
| 5 | 5 | 25 | 125 | 625 | 3.125 |
| 10 | 10 | 100 | 1.000 | 10.000 | 100.000 |