Pengenalan Bilangan Berpangkat
Basis (Bilangan Pokok) dan Eksponen (Pangkat)
Matematika
1. Pengertian Bilangan Berpangkat
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan perkalian berulang berikut:
- 2 × 2 × 2 = 8, dapat ditulis sebagai 23 = 8
- 5 × 5 = 25, dapat ditulis sebagai 52 = 25
- 3 × 3 × 3 × 3 = 81, dapat ditulis sebagai 34 = 81
Apa yang kamu perhatikan dari pola di atas?
❓ Kegiatan: Menanya
- Apa hubungan antara perkalian berulang dan bilangan berpangkat?
- Angka mana yang disebut basis? Angka mana yang disebut eksponen?
- Mengapa kita memerlukan notasi pangkat?
📖 Definisi
Bilangan berpangkat adalah bentuk penulisan singkat dari perkalian berulang bilangan yang sama.
Jika a adalah bilangan real dan n adalah bilangan bulat positif, maka:
Dibaca: “a pangkat n” atau “a dipangkatkan n”
🧠 Kegiatan: Menalar
Dari pengamatan di atas, kita dapat menyimpulkan:
- Bilangan berpangkat merupakan cara ringkas menulis perkalian berulang
- Bilangan yang dikalikan berulang disebut basis
- Banyaknya perkalian disebut eksponen
| Perkalian Berulang | Notasi Pangkat | Nilai | Basis | Eksponen |
|---|---|---|---|---|
| 2 × 2 × 2 | 23 | 8 | 2 | 3 |
| 4 × 4 | 42 | 16 | 4 | 2 |
| 5 × 5 × 5 | 53 | 125 | 5 | 3 |
| 10 × 10 × 10 × 10 | 104 | 10.000 | 10 | 4 |
| 7 × 7 | 72 | 49 | 7 | 2 |
2. Basis (Bilangan Pokok)
📖 Definisi Basis
Basis (bilangan pokok) adalah bilangan yang dikalikan berulang dalam bilangan berpangkat.
Pada an, huruf a adalah basis.
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan beberapa bilangan berpangkat berikut dan tentukan basisnya:
| Bilangan Berpangkat | Basis | Keterangan |
|---|---|---|
| 35 | 3 | Bilangan bulat positif |
| (-2)4 | -2 | Bilangan bulat negatif |
| (½)3 | ½ | Pecahan |
| (0,5)2 | 0,5 | Desimal |
| (-⅓)2 | -⅓ | Pecahan negatif |
🧠 Kegiatan: Menalar
Hal penting tentang basis:
- Basis bisa berupa bilangan bulat positif (2, 3, 5, …)
- Basis bisa berupa bilangan bulat negatif (-2, -3, …)
- Basis bisa berupa pecahan (½, ⅓, ¾, …)
- Basis bisa berupa desimal (0,1; 0,5; 1,5; …)
- Basis tidak boleh nol jika eksponen negatif (0-2 tidak terdefinisi)
⚠️ Perhatian: Tanda Negatif pada Basis
Perhatikan perbedaan berikut:
| Notasi | Arti | Hasil |
|---|---|---|
| (-3)2 | (-3) × (-3) | 9 |
| -32 | -(3 × 3) | -9 |
| (-2)3 | (-2) × (-2) × (-2) | -8 |
| -23 | -(2 × 2 × 2) | -8 |
Kesimpulan: Tanda kurung pada basis negatif sangat penting!
- (-a)n → basis = -a (tanda negatif ikut dipangkatkan)
- -an → basis = a, lalu hasilnya dinegatifkan
✏️ Kegiatan: Mencoba
Tentukan basis dari bilangan berpangkat berikut:
- 64 → Basis = …
- (-5)3 → Basis = …
- (⅔)5 → Basis = …
- (1,2)2 → Basis = …
- (-0,7)4 → Basis = …
🗣️ Kegiatan: Mengkomunikasikan
Diskusikan dengan teman sebangkumu:
- Jelaskan dengan bahasamu sendiri apa yang dimaksud dengan basis.
- Berikan 3 contoh bilangan berpangkat dengan basis pecahan.
- Jelaskan perbedaan (-4)2 dan -42.
3. Eksponen (Pangkat)
📖 Definisi Eksponen
Eksponen (pangkat) adalah bilangan yang menunjukkan banyaknya basis dikalikan dengan dirinya sendiri.
Pada an, huruf n adalah eksponen.
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan pola berikut:
| Notasi | Eksponen | Arti | Hasil |
|---|---|---|---|
| 21 | 1 | 2 (satu faktor) | 2 |
| 22 | 2 | 2 × 2 | 4 |
| 23 | 3 | 2 × 2 × 2 | 8 |
| 24 | 4 | 2 × 2 × 2 × 2 | 16 |
| 25 | 5 | 2 × 2 × 2 × 2 × 2 | 32 |
🧠 Kegiatan: Menalar
Hal penting tentang eksponen:
- Eksponen 1: a1 = a (bilangan itu sendiri)
- Eksponen 0: a0 = 1 (untuk a ≠ 0)
- Eksponen 2: disebut “kuadrat”
- Eksponen 3: disebut “kubik”
- Semakin besar eksponen, semakin banyak perkalian yang dilakukan
📖 Eksponen Khusus
| Eksponen | Nama Khusus | Contoh | Hasil |
|---|---|---|---|
| 0 | Pangkat nol | 50 | 1 |
| 1 | Pangkat satu | 51 | 5 |
| 2 | Kuadrat | 52 | 25 |
| 3 | Kubik | 53 | 125 |
✏️ Kegiatan: Mencoba
Tentukan eksponen dan hitung hasilnya:
- 43 → Eksponen = …, Hasil = …
- 105 → Eksponen = …, Hasil = …
- (-3)4 → Eksponen = …, Hasil = …
- 70 → Eksponen = …, Hasil = …
- (½)4 → Eksponen = …, Hasil = …
🗣️ Kegiatan: Mengkomunikasikan
Presentasikan di depan kelas:
- Mengapa a0 = 1? Jelaskan dengan pola pembagian.
- Apa perbedaan (-2)4 dan (-2)3? Mengapa hasilnya berbeda tanda?
4. Notasi Bilangan Berpangkat
📖 Cara Penulisan
Bilangan berpangkat ditulis dengan format:
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan berbagai notasi bilangan berpangkat dalam kehidupan sehari-hari:
| Konteks | Perkalian | Notasi Pangkat |
|---|---|---|
| Luas persegi sisi 5 cm | 5 × 5 | 52 = 25 cm² |
| Volume kubus sisi 3 cm | 3 × 3 × 3 | 33 = 27 cm³ |
| Kapasitas memori 2 GB | 2 × 2 × … × 2 (30 kali) | 230 byte |
| Jarak bumi-matahari | – | 1,5 × 108 km |
🧠 Kegiatan: Menalar
Mengapa notasi pangkat penting?
- Menyederhanakan penulisan bilangan yang sangat besar
- Mempermudah perhitungan matematika
- Digunakan dalam notasi ilmiah (scientific notation)
- Aplikasi luas di fisika, kimia, komputer, dll.
5. Contoh Soal dan Pembahasan
MUDAH Contoh Soal Tingkat Mudah
1. Tentukan nilai dari 24
Pembahasan:
24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 4 × 2 × 2 = 8 × 2 = 16
Basis = 2, Eksponen = 4, artinya 2 dikalikan sebanyak 4 kali.
2. Tentukan nilai dari 33
Pembahasan:
33 = 3 × 3 × 3 = 9 × 3 = 27
3. Tentukan nilai dari 52
Pembahasan:
52 = 5 × 5 = 25
4. Tentukan basis dan eksponen dari 73
Pembahasan:
Basis = 7 (bilangan yang dikalikan berulang)
Eksponen = 3 (banyaknya perkalian)
5. Nyatakan 6 × 6 × 6 × 6 dalam notasi pangkat
Pembahasan:
6 dikalikan sebanyak 4 kali, sehingga: 6 × 6 × 6 × 6 = 64
6. Tentukan nilai dari 103
Pembahasan:
103 = 10 × 10 × 10 = 1.000
7. Tentukan nilai dari 42
Pembahasan:
42 = 4 × 4 = 16
8. Nyatakan 9 × 9 dalam notasi pangkat
Pembahasan:
9 × 9 = 92
9. Tentukan nilai dari 110
Pembahasan:
110 = 1 × 1 × 1 × … × 1 (10 kali) = 1
Bilangan 1 dipangkatkan berapapun hasilnya tetap 1.
10. Tentukan nilai dari 81
Pembahasan:
81 = 8
Bilangan apapun dipangkatkan 1, hasilnya bilangan itu sendiri.
SEDANG Contoh Soal Tingkat Sedang
1. Tentukan nilai dari (-3)4
Pembahasan:
(-3)4 = (-3) × (-3) × (-3) × (-3)
= 9 × 9 = 81
Basis negatif dipangkatkan genap menghasilkan bilangan positif.
2. Tentukan nilai dari (-2)5
Pembahasan:
(-2)5 = (-2) × (-2) × (-2) × (-2) × (-2)
= 4 × 4 × (-2) = 16 × (-2) = -32
Basis negatif dipangkatkan ganjil menghasilkan bilangan negatif.
3. Tentukan nilai dari (½)3
Pembahasan:
(½)3 = ½ × ½ × ½ = ⅛
Pembilang: 13 = 1, Penyebut: 23 = 8
4. Hitunglah perbedaan antara (-5)2 dan -52
Pembahasan:
(-5)2 = (-5) × (-5) = 25
-52 = -(5 × 5) = -25
Perbedaan: 25 – (-25) = 50
5. Tentukan nilai dari (⅔)2
Pembahasan:
(⅔)2 = ⅔ × ⅔ = (2×2)/(3×3) = 4/9
Pada pecahan berpangkat, pembilang dan penyebut masing-masing dipangkatkan.
SULIT Contoh Soal Tingkat Sulit
1. Tentukan nilai dari 23 × 32 – 42
Pembahasan:
23 = 8
32 = 9
42 = 16
= 8 × 9 – 16 = 72 – 16 = 56
2. Jika 2n = 64, tentukan nilai n
Pembahasan:
Kita cari: 2 pangkat berapa yang hasilnya 64?
21=2, 22=4, 23=8, 24=16, 25=32, 26=64
Jadi n = 6
3. Tentukan nilai dari (-1)100 + (-1)99
Pembahasan:
(-1)100 = 1 (eksponen genap → positif)
(-1)99 = -1 (eksponen ganjil → negatif)
= 1 + (-1) = 0
4. Sederhanakan: (23)2 dan bandingkan dengan 26
Pembahasan:
(23)2 = 23 × 23 = 8 × 8 = 64
26 = 64
Keduanya sama! Ini menunjukkan sifat: (am)n = am×n
(23)2 = 23×2 = 26 = 64
5. Tentukan nilai dari ((-2)3 + 32)2
Pembahasan:
Langkah 1: (-2)3 = -8
Langkah 2: 32 = 9
Langkah 3: -8 + 9 = 1
Langkah 4: 12 = 1
6. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
MUDAH
- Tentukan nilai dari 34
- Tentukan nilai dari 62
- Nyatakan 7 × 7 × 7 × 7 × 7 dalam notasi pangkat
- Tentukan basis dan eksponen dari 95
- Tentukan nilai dari 26
- Nyatakan 4 × 4 × 4 dalam notasi pangkat dan hitung nilainya
- Tentukan nilai dari 104
- Tentukan nilai dari 53
- Tentukan basis dari 123
- Tentukan eksponen dari 84
SEDANG
- Tentukan nilai dari (-4)3
- Tentukan nilai dari (⅓)4
- Hitunglah (-7)2 dan -72, lalu tentukan selisihnya
- Tentukan nilai dari (-1)50
- Tentukan nilai dari (¾)2
SULIT
- Tentukan nilai dari 33 + 24 – 52
- Jika 3n = 243, tentukan nilai n
- Tentukan nilai dari ((-3)2 – 23)3
- Urutkan dari terkecil: 25, 33, 42, 52
- Tentukan nilai dari (-2)4 × (½)2 + 33